Doğrusal Programlama Nedir?
Doğrusal programlama, kaynakların optimum kullanımını araştıran bir tekniktir. Bir doğrusal programlama modeli, kaynakları belirli bir alana daraltan “kısıt denklemlerini” ve sonuçta ulaşılmak istenen “amaç fonksiyonunu” içermelidir.
Doğrusal programlamanın karşılaması gereken özellikler
- Tüm değişkenleri süreklidir.
- Tek bir amaç aranmaktadır (en büyük veya en küçüğü elde etme).
- Amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusaldır. Fonksiyonlardaki değişkenler ya sabit sayı veya sabit sayı ile çarpılmış değişkendir.
şeklinde tanımlanmaktadır.
Doğrusal programlamanın kullanım alanları ise
- Karışım problemleri
- Dağıtım problemleri
- Üretim planlama problemleri
- Rafineri yönetim problemleri
- Finansal ve ekonomik planlama problemleri
- Gıda, tarım planlama problemleri
- İşgücü planlama problemleri
gibi örnekler barındırmaktadır.
Doğrusal Programlama: Modelleme Örneği
Bir kimya şirketi A, B, C ürünlerini kullanarak mümkün olduğu kadar fazla üretim yapmak ve satmak istemektedir. A, B, C’nin aylık miktarları sırasıyla 1200, 4000 ve 6000 tondur. Bu ürünlerden hiçbiri orjinal halde satılamamaktadır. Ürünleri ek maliyet olmadan, belirli oranlarda karıştırarak D ve E ürünleri elde edilmektedir. D ürününün 1 ton satımından 2.5 milyon TL, E ürününün 1 ton satımından ise 1 milyon TL kazanç sağlanmaktadır. 1 ton D üretmek için 0.6 ton A ve 0.7 ton B kullanılmaktadır. 1 ton E üretimi için ise 0.5 ton A, 0.1 ton B ve 0.4 ton C kullanılmaktadır.
Ay sonunda elde edeceği kazanç ne olur?
Çözüm:
Sorumuzda öncelikle amaca odaklanalım. Burada amaç firmanın ürettiği ürünlerden kazanç sağlaması ve doğal olarak bu kazancın da mümkün olan en yüksek miktar olmasıdır.
Senaryomuzda firmaya kazanç sağlayacak durumlar;
- D ürününün satılması
- E ürünün satılmasıdır.
Xd => Üretilen ve satılan D ürünü, Xe => Üretilen ve satılan E ürünü olsun.
Amaç Fonksiyonu => z = 2.5*Xd + 1*Xe olacaktır. Çünkü her bir ton Xd satışından 2.5 milyon TL ve her bir D satışından 1 milyon TL kazanç elde edilmektedir. Burada son bir önemli nokta da kazancın maksimum olması durumudur, Son haliyle amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilir.
z = 2.5*Xd + 1*Xe maks
Sıra geldi kısıt denklemlerimizi oluşturmaya. Örneğimizde aylık A, B ve C miktarları 1200, 4000 ve 6000 ile kısıtlandırılmıştır. Bu da demek oluyor ki denklemlerimiz bunlar üzerinden oluşturulmalıdır.
Ayrıca örneğimizde D ve E ürünlerinin üretiminde kullanılan A, B ve C miktarları belirtilmektedir. Eğer bu miktarları bir denklem halinde yazarsak en fazla üretilebilecek D ve E miktarını belirli bir alanda kısıtlamış olacağız.
A Kullanımı
A ürünü elimizde 1200 ton kadar bulunmaktadır. D ürününün eldesinde 0.6 ton ve E ürününün eldesinde de 0.5 ton kullanılmaktadır. Bu verileri birleştirerek aşağıdaki denklemi elde edebiliriz.
Kısıt 1: 0.6*Xd + 0.5*Xe <= 1200
B Kullanımı
B ürünü elimizde 4000 ton kadar bulunmaktadır. D ürünün eldesinde 0.7 ton ve E ürünün eldesinde de 0.1 ton kullanılmaktadır. Bu verileri birleştirerek aşağıdaki denklemi elde edebiliriz.
Kısıt 2: 0.7*Xd + 0.1*Xe <= 4000
C Kullanımı
C ürünü elimizde 6000 ton kadar bulunmaktadır. E ürününün eldesinde 0.4 ton kullanılmaktadır. Bu verileri birleştirerek aşağıdaki denklemi elde edebiliriz.
Kısıt 3: 0.4*Xe <= 6000
Yukarıdaki kısıtlar haricinde Xd ve Xe değişkenlerinin hiçbir zaman negatif olamayacağını belirten sanal kısıtlarımız da vardır.
Xd, Xe >= 0
Böylece modelimizin son hali aşağıdaki gibi olacaktır.
z = 2.5*Xd + 1*Xe maks
0.6*Xd + 0.5*Xe <= 1200
0.7*Xd + 0.1*Xe <= 4000
0.4*Xe <= 6000